Teorema de Euler - Vértice, aresta e face de um poliedro (Geometria Espacial)

Poliedros Convexos 

Definição Poliedros 

são sólidos limitados por 4 ou mais faces planas e poligonais. Um poliedro é considerado convexo quando:

 • Duas a duas das suas faces poligonais não são coplanares;

 • Cada lado da face poligonal é comum a duas, e somente duas, faces poligonais; 

• O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num único semi-espaço. 

Elementos de um poliedro 

As regiões poligonais são chamadas faces; os lados, os vértices e os ângulos dos polígonos são chamados, respectivamente, arestas, vértices e ângulos das faces da superfície poliédrica convexa. Chama-se interior de uma superfície poliédrica convexa ao conjunto dos pontos do poliedro que não pertence a alguma face. 

Nomenclatura 

Os poliedros recebem nomes, conforme o número de faces. 

Assim: 

Tetraedro ----------------------------------- 4 faces 

Pentaedro -----------------------------------5 faces 

Hexaedro -----------------------------------6 faces 

Heptaedro -----------------------------------7 faces 

Ocataedro -----------------------------------8 faces 

Eneaedro -----------------------------------9 faces 

Decaedro -----------------------------------10 faces 

Teorema de Euler 

Em todo poliedro convexo, ou em toda superfície poliédrica convexa fechada, é válida a relação: 

V-A+F =2 Então: V+F=A+2 

Onde: V é o número de vértices; A é o número de arestas; e F é o número de faces. 

Assim, na pirâmide representa abaixo, temos:

V=5, A=8 e F=5. 

Onde pela relação:

V+F=A+2

5+5=8+2 10=10 

A soma dos ângulos das faces 

A soma das medidas, em graus, dos ângulos das faces da superfície de um poliedro convexo que tem V vértices é tal que S=(V-2).360°. 

Na pirâmide dada na ilustração anterior, a soma das medidas, em graus, dos ângulos das faces é: S=(5-2).360° = 3.360°=1080° 

Interessantes 

Poliedros de Platão 

Para um poliedro seja considerado poliedro de Platão, é necessário que: 

1. Todas as suas faces tenham o mesmo número (n) de arestas; 

2. Dos vértices parta o mesmo número de (m) de arestas. 

Existem 5 classes de poliedros de Platão: 

Tetraedro – possui 4 faces triangulares.

Hexaedro – possui 6 faces quadrangulares.

Octaedro – Possui 8 faces triangulares.

Dodecaedro – Possui 12 faces pentagonais.

Icosaedro – Possui 20 faces triangulares.

Exercícios Resolvidos (correção no canal clique aqui!)

1) Um poliedro convexo tem 7 faces e 15 arestas. Calcular o número de vértices da superfície desse poliedro.

2) Um poliedro convexo tem 8 faces triangulares. Calcular o número de arestas e de vértices desse poliedro.

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Essa Folhinha de exercícios do teorema de Euler (Vértices, arestas e faces) iremos corrigir na próxima referente a esse curso de geometria espacial. Um grande abraço!